Uji Normalitas Data (Kolmogorov-Smirnov)

Uji Normalitas Kolmogorov-Smirnov (K-S) untuk Satu Sampel

Uji Kolmogorov-Smirnov (K-S) digunakan untuk menguji apakah suatu sampel data berasal dari distribusi tertentu, dalam hal ini distribusi normal. Uji ini membandingkan distribusi kumulatif empiris dari data sampel dengan distribusi kumulatif teoritis dari distribusi normal.

Langkah-langkah Manual

Misalkan kita memiliki data sampel sebagai berikut:

X = [15.2, 16.4, 15.7, 16.1, 15.3, 15.6, 16.0, 15.8, 15.9, 16.2]

Jumlah data n = 10

Langkah 1: Menghitung Rata-rata (Mean) dan Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Rata-rata (μ):

μ = ΣX_i / n = (15.2 + 16.4 + 15.7 + 16.1 + 15.3 + 15.6 + 16.0 + 15.8 + 15.9 + 16.2) / 10 = 158.2 / 10 = 15.82

Simpangan Baku (σ):

σ = √(Σ(X_i - μ)² / n)

X_i	X_i - μ	(X_i - μ)²
15.2	-0.62	0.3844
16.4	0.58	0.3364
15.7	-0.12	0.0144
16.1	0.28	0.0784
15.3	-0.52	0.2704
15.6	-0.22	0.0484
16.0	0.18	0.0324
15.8	-0.02	0.0004
15.9	0.08	0.0064
16.2	0.38	0.1444

Jumlahkan semua kuadrat selisih:

Σ(X_i - μ)² = 0.3844 + 0.3364 + 0.0144 + 0.0784 + 0.2704 + 0.0484 + 0.0324 + 0.0004 + 0.0064 + 0.1444 = 1.3156

Kemudian, kita hitung simpangan baku:

σ = √(1.3156 / 10) = √(0.13156) ≈ 0.362

Langkah 2: Menghitung CDF Teoritis untuk Setiap Nilai Sampel

Untuk menghitung CDF teoritis, kita menggunakan rumus distribusi kumulatif normal:

F(X) = 1/2 [1 + erf((X - μ) / (σ√2))]

Dengan nilai μ = 15.82 dan σ = 0.362, kita dapat menghitung CDF untuk setiap nilai \(X_i\).

Langkah 3: Menghitung CDF Empiris untuk Setiap Nilai Sampel

CDF empiris dihitung berdasarkan urutan data dalam sampel:

F_empiris(X_i) = i / n

X_i	CDF Empiris
15.2	0.10
15.3	0.20
15.6	0.30
15.7	0.40
15.8	0.50
15.9	0.60
16.0	0.70
15.8	0.80
16.2	0.90
16.4	1.00

Langkah 4: Menghitung Statistik Kolmogorov-Smirnov (D)

Statistik uji Kolmogorov-Smirnov adalah perbedaan terbesar antara CDF empiris dan CDF teoritis untuk setiap data:

D = max |F_empiris(X_i) - F_teoritis(X_i)|

X_i	CDF Empiris	CDF Teoritis	Perbedaan
15.2	0.10	0.113	0.013
15.3	0.20	0.154	0.046
15.6	0.30	0.333	0.033
15.7	0.40	0.405	0.005
15.8	0.50	0.477	0.023
15.9	0.60	0.541	0.059
16.0	0.70	0.602	0.098
15.8	0.80	0.674	0.126
16.2	0.90	0.746	0.144
16.4	1.00	0.800	0.200

Perbedaan terbesar (D) terjadi pada baris terakhir:

D = 0.200

Langkah 5: Menentukan Nilai Kritis dan Keputusan Uji

Untuk n = 10 dan tingkat signifikansi α = 0.05, kita dapat menemukan nilai kritis dari tabel K-S. Jika D > nilai kritis, kita menolak hipotesis nol (H₀) bahwa data berasal dari distribusi normal.

Kesimpulan: Jika D lebih besar dari nilai kritis, kita menolak H₀. Jika tidak, kita gagal menolak H₀.