Pemecahan Soal OSN - Trigonometri

Penyelesaian Persamaan Trigonometri

Diketahui persamaan:

\[ -3 \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + \frac{9}{2} = 4 \cos^2 x \quad \text{untuk } 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \]

Langkah 1: Ubah cos²x menjadi bentuk sin²x

Gunakan identitas: \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \)

\[ -3 \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + \frac{9}{2} = 4(1 - \sin^2 x) \] \[ -3 \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + \frac{9}{2} = 4 - 4 \sin^2 x \]

Langkah 2: Pindahkan semua ke sisi kiri

\[ -3 \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + \frac{9}{2} - 4 + 4 \sin^2 x = 0 \] \[ \sin^2 x - \sqrt{2} \sin x + \frac{1}{2} = 0 \]

Langkah 3: Selesaikan sebagai persamaan kuadrat

Misalkan \( y = \sin x \), maka: \[ y^2 - \sqrt{2} y + \frac{1}{2} = 0 \] \[ y = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4(1)(\frac{1}{2})}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Jadi: \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Langkah 4: Tentukan nilai x dalam rentang \( 0^\circ \leq x \leq 360^\circ \)

\[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = 45^\circ \text{ dan } 135^\circ \]

Jawaban:

Himpunan penyelesaian: {45°, 135°}
Jawaban yang benar: b. {45º, 135º}