Membuktikan Rumus Volume Kerucut

Turunan Rumus Volume Kerucut

Turunan rumus volume kerucut V = (1/3) π r² h bisa diperoleh dengan menggunakan kalkulus integral. Kita akan menurunkan rumus ini dengan metode cakram (disk method), yang merupakan cara umum untuk menghitung volume benda hasil rotasi.

1️⃣ Konsep Dasar

Bayangkan sebuah kerucut dengan:

• Jari-jari alas: r
• Tinggi: h

Kerucut bisa dibentuk dengan memutar segitiga di bidang xy-plane mengelilingi sumbu y.

2️⃣ Menganalisis Irisan Kerucut

Jika kita mengambil irisan horisontal kecil dari kerucut setinggi y, maka:

• Jari-jari lingkaran kecil di irisan disebut r(y)
• Ketebalan irisan adalah dy
• Irisan ini berbentuk cakram kecil, dan volumenya bisa dihitung dengan metode integral.

3️⃣ Hubungan Jari-jari dengan Tinggi

Karena kerucut berbentuk segitiga saat diproyeksikan, kita gunakan persamaan garis:

r(y) = (r/h) * y

di mana r(y) adalah jari-jari irisan lingkaran di ketinggian y.

4️⃣ Menggunakan Metode Cakram

Volume kecil dari setiap cakram adalah:

dV = π [r(y)]² dy

Substitusi r(y) = (r/h) * y:

dV = π (r²/h²) y² dy

Total volume kerucut diperoleh dengan mengintegralkan dari y = 0 sampai y = h:

V = ∫₀ʰ π (r²/h²) y² dy

5️⃣ Menyelesaikan Integral

Kita gunakan rumus integral:

∫ yⁿ dy = (yⁿ⁺¹ / (n+1))

Sehingga:

∫₀ʰ y² dy = h³ / 3

Substitusikan kembali:

V = π (r²/h²) × (h³/3)

V = (1/3) π r² h

6️⃣ Kesimpulan

Jadi, dengan menggunakan integral cakram, kita telah menunjukkan bahwa volume kerucut adalah:

V = (1/3) π r² h

🎯 Makna dari (1/3): Faktor 1/3 menunjukkan bahwa volume kerucut hanya sepertiga dari volume silinder dengan alas dan tinggi yang sama.