Membuktikan Rumus Volume Kerucut

Turunan Rumus Volume Kerucut

Turunan rumus volume kerucut V = (1/3) π r² h bisa diperoleh dengan menggunakan kalkulus integral. Kita akan menurunkan rumus ini dengan metode cakram (disk method), yang merupakan cara umum untuk menghitung volume benda hasil rotasi.

1️⃣ Konsep Dasar

Bayangkan sebuah kerucut dengan:

• Jari-jari alas: r
• Tinggi: h

Kerucut bisa dibentuk dengan memutar segitiga di bidang xy-plane mengelilingi sumbu y.

2️⃣ Menganalisis Irisan Kerucut

Jika kita mengambil irisan horisontal kecil dari kerucut setinggi y, maka:

• Jari-jari lingkaran kecil di irisan disebut r(y)
• Ketebalan irisan adalah dy
• Irisan ini berbentuk cakram kecil, dan volumenya bisa dihitung dengan metode integral.

3️⃣ Hubungan Jari-jari dengan Tinggi

Karena kerucut berbentuk segitiga saat diproyeksikan, kita gunakan persamaan garis:

r(y) = (r/h) * y

di mana r(y) adalah jari-jari irisan lingkaran di ketinggian y.

4️⃣ Menggunakan Metode Cakram

Volume kecil dari setiap cakram adalah:

dV = π [r(y)]² dy

Substitusi r(y) = (r/h) * y:

dV = π (r²/h²) y² dy

Total volume kerucut diperoleh dengan mengintegralkan dari y = 0 sampai y = h:

V = ∫₀ʰ π (r²/h²) y² dy

5️⃣ Menyelesaikan Integral

Kita gunakan rumus integral:

∫ yⁿ dy = (yⁿ⁺¹ / (n+1))

Sehingga:

∫₀ʰ y² dy = h³ / 3

Substitusikan kembali:

V = π (r²/h²) × (h³/3)

V = (1/3) π r² h

6️⃣ Kesimpulan

Jadi, dengan menggunakan integral cakram, kita telah menunjukkan bahwa volume kerucut adalah:

V = (1/3) π r² h

🎯 Makna dari (1/3): Faktor 1/3 menunjukkan bahwa volume kerucut hanya sepertiga dari volume silinder dengan alas dan tinggi yang sama.

Soal UTS Pemrograman Komputer - Prodi Tadris Matematika

Soal Ujian Tengah Semester (UTS)

Mata Kuliah: Algoritma dan Pemrograman

Instruksi:

• Jawablah dengan jelas, terstruktur, dan sesuai dengan kaidah penulisan ilmiah.
• Gunakan referensi teori dan/atau contoh kode untuk mendukung jawaban Anda.
• Dilarang melakukan plagiarisme. Jawaban yang terbukti menjiplak akan diberi nilai nol.

Soal:

1. Konsep Algoritma dalam Pemecahan Masalah Matematika
   Jelaskan pengertian algoritma dan bagaimana algoritma digunakan dalam pemecahan masalah matematika. Sebagai contoh, buat algoritma dalam pseudocode untuk menghitung nilai rata-rata dari sekumpulan bilangan yang dimasukkan oleh pengguna.
2. Flowchart untuk Perhitungan Faktorial
   Gambarkan flowchart untuk menghitung faktorial dari bilangan bulat positif yang dimasukkan pengguna. Jelaskan fungsi setiap simbol yang digunakan dalam flowchart tersebut.
3. Struktur Percabangan dalam Menentukan Bilangan Genap atau Ganjil
   Buat program Python yang meminta pengguna memasukkan sebuah bilangan bulat lalu menentukan apakah bilangan tersebut genap atau ganjil menggunakan struktur percabangan IF-ELSE.
4. Menggunakan Perulangan untuk Menghitung Jumlah Deret Aritmatika
   Sebuah deret aritmatika memiliki rumus jumlah n suku pertama sebagai berikut:
   
   Sn = (n/2) * (2a + (n-1) * d)
   
   Buat program Python menggunakan perulangan FOR untuk menghitung jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika dengan suku pertama (a) = 3 dan beda (d) = 5.
5. Menghitung Akar Persamaan Kuadrat dalam Python
   Gunakan rumus kuadratik berikut untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat:
   x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
   
   Buat program Python yang meminta pengguna memasukkan nilai a, b, dan c, lalu menghitung dan menampilkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Pastikan program menangani kasus diskriminan negatif dengan menampilkan pesan bahwa akar tidak real jika b² - 4ac < 0.